Question

19．已知函数f（x）=xlnx+（x-1）²，且x₀是函数f（x）的极值点．给出以下几个结论：
①$0＜{x_0}＜\frac{1}{e}$；
②$\frac{1}{e}＜{x_0}＜1$；
③f（x₀）+x₀＜0；
④f（x₀）+x₀＞0
其中结论正确的是②④．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f（x₀）+x₀=x₀lnx₀+（x₀-1）²+x₀=x₀（lnx₀+2x₀-1）+1-${{x}_{0}}^{2}$＞0，可判断③④．

解答 解：f（x）=xlnx+（x-1）²，定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx+2x-1，显然f′（x）是增函数，
而f′（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{2}{e}$＜0，f′（1）=1＞0，
∴$\frac{1}{e}$＜x₀＜1，
∴①错误，②正确，
f（x₀）+x₀=x₀lnx₀+（x₀-1）²+x₀=x₀（lnx₀+2x₀-1）+1-${{x}_{0}}^{2}$=1-${{x}_{0}}^{2}$＞0
∴③错误，④正确，
故答案为：②④．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力，是中档题．