Question

9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1，曲线f（x）=e^x在点（0，1）处的切线方程为2mx-ny+1=0，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\sqrt{2}$x
• B． y=±2x
• C． y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
• D． y=±$\frac{1}{2}$x

Answer 1

分析 求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程组关系求出m，n的值，利用双曲线的渐近线的性质进行求解即可．

解答 解：∵（x）=e^x，
∴f′（x）=e^x，
则f′（0）=e⁰=1，
则曲线f（x）=e^x在点（0，1）处的切线方程为y-1=x，即x-y-1=0，
∵f（x）=e^x在点（0，1）处的切线方程为2mx-ny+1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m=1}\\{-n=-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{{y}^{2}}{1}=1$，
则双曲线的渐近线方程为y=$±\sqrt{2}$x，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据导数的几何意义求出参数m，n的值是解决本题的关键．