Question

18．如图所示的程序框图中，若f（x）=sinx，g（x）=cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{f（x）≥g（x）}\\{g（x）}&{f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$的值，分类讨论即可求出h（x）的最小值，可得答案．

解答 解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：
计算并输出分段函数：h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{f（x）≥g（x）}\\{g（x）}&{f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$的值，
利用正弦函数，余弦函数的图象和性质可知：
当x∈[0，$\frac{π}{4}$）时，f（x）=sinx∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），g（x）=cosx∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，g（x）＞f（x），
由题意：h（x）=cosx∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）=sinx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，g（x）=cosx∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，g（x）≤f（x），
由题意：h（x）=sinx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
综上，可得x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，h（x）的最小值为sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵h（x）≥m恒成立，
∴m的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，考查了函数恒成立的应用，属于基本知识的考查．