Question

7．已知函数f（x）=xlnx-ax²有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． （0，1）

Answer 1

分析 先求导函数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．

解答 解：由题意，y′=lnx+1-2ax
令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，
函数y=xlnx-ax²有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=$\frac{1}{2}$时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．
故选：C．

点评 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．