Question

16．已知函数f（x）=lnx-ax+$\frac{b}{x}$（a，b∈R），且对任意x＞0，都有f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0．
（Ⅰ）求a，b的关系式；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明f（$\frac{a^2}{2}$）＞0，并指出函数y=f（x）零点的个数（要求说明理由）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用赋值法，结合f（1）=0得到关于a，b的关系式，然后对恒成立进行证明；
（Ⅱ）因为该函数有两个极值点，所以导函数等于零有两个异号根，得到关于a，b的关系式，解出即可；
（Ⅲ）然后代入f（$\frac{{a}^{2}}{2}$），再证明函数g（a）=f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0恒成立即可，利用导数结合函数的极值点、单调性、最值等以及利用数形结合思想确定出函数零点的个数，注意分类讨论．

解答 解：（Ⅰ）根据题意：令x=1，可得f（1）+f（$\frac{1}{1}$）=0，
∴f（1）=-a+b=0，
经验证，可得当a=b时，对任意x＞0，都有f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，
∴b=a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，且x＞0，∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{-{ax}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
令g（x）=-ax²+x-a，
要使f（x）存在两个极值点x₁，x₂，则须有y=g（x）有两个不相等的正数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{2a}＞0}\\{△=1-{4a}^{2}＞0}\\{g（））=-a＜0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1}{2a}＞0}\\{△=1-{4a}^{2}＞0}\\{g（））=-a＞0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$或无解，
∴a的取值范围0＜a＜$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得0＜$\frac{{a}^{2}}{2}$＜$\frac{1}{8}$，
由题意知f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）=ln$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$=2lna+$\frac{2}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{2}$-ln2，
令h（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-$\frac{{x}^{3}}{2}$-ln2，则h′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{{3x}^{2}}{2}$=$\frac{-{3x}^{4}+4x-4}{{2x}^{2}}$，
而当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，-3x⁴+4x-4=-3x⁴-4（1-x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
∴h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-2ln2+4-$\frac{1}{16}$-ln2＞$\frac{63}{16}$-3lne＞0，
即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{-{ax}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，g（x）=-ax²+x-a，
令f'（x）=0得：x₁=$\frac{1-\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，
由（Ⅱ）知0＜a＜$\frac{1}{2}$时，y=g（x）的对称轴x=$\frac{1}{2a}$∈（1，+∞），△=1-4a²＞0，g（0）=-a＜0，
∴x₂＞1，又x₁x₂=1，可得x₁＜1，
此时，f（x）在（0，x₁）上单调递减，（x₁，x₂）上单调递增，（x₂，+∞）上单调递减，
所以y=f（x）最多只有三个不同的零点，
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（x₁，1）上递增，即x∈[x₁，1）时，f（x）＜0恒成立，
根据（Ⅱ）可知f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0且0＜$\frac{{a}^{2}}{2}$＜$\frac{1}{8}$，所以$\frac{{a}^{2}}{2}$∉（x1，1），即$\frac{{a}^{2}}{2}$∈（0，x1）
∴?x0∈（$\frac{{a}^{2}}{2}$，x1），使得f（x₀）=0，…（12分）
由0＜x₀＜x₁＜1，得$\frac{1}{{x}_{0}}$＞1，又f（$\frac{1}{{x}_{0}}$）=-f（x0）=0，f（1）=0，
∴f（x）恰有三个不同的零点：x0，1，$\frac{1}{x}$．
综上所述，y=f（x）恰有三个不同的零点．

点评 本题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想．