Question

1．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；
（3）对于n∈N⁺，证明：$\frac{2}{{1}^{2}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{4}{{3}^{2}}+…+\frac{n+1}{{n}^{2}}＞ln（n+1）$．

Answer 1

分析 （1）求导，f′（0）=0，求得a的值，写出函数及导函数表达式，f′（x）＞0，求得f（x）的单调递增区间，；由f′（x）＜0，求得函数单调递减区间；
（2）构造辅助函数g（x）=f（x）-（-$\frac{5}{2}$x+b），求导，令g′（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的单调区间，求得g（x）的两个零点，实数b的取值范围；
（3）由（1）可知当x≥0时ln（x+1）≤x²+x（当且仅当x=0时等号成立），可得到ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，求得前n项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1=$\frac{1-2x（x+a）-（x+a）}{x-a}$，…（1分）
∵f′（0）=0，∴$\frac{1-a}{a}$=0，
∴a=1．
∴f（x）=ln（x+1）-x²-x（x＞-1），…（2分）
于是f′（x）=$\frac{1-2x（x+1）-（x+1）}{x+1}$=$\frac{-2x（x+\frac{3}{2}）}{x+1}$（x＞-1），
由f′（x）＞0得-1＜x＜0；由f′（x）＜0，得x＞0，
∴f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）．…（4分）
（2）令g（x）=f（x）-（-$\frac{5}{2}$x+b）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b，x∈（0，2），
则g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{4{x}^{2}+x-5}{2（x+1）}$，令g′（x）=0，得x=1或x=-$\frac{5}{4}$（舍），
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．…（7分）
方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在区间（0，2）有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＜0}\\{g（1）＞0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-b＜0}\\{ln2+\frac{1}{2}-b＞0}\\{ln3-1-b＜0}\end{array}\right.$亦即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{b＜ln2+\frac{1}{2}}\\{b＞ln3-1}\end{array}\right.$，
∴ln3-1＜b＜ln2+$\frac{1}{2}$，
故所求实数b的取值范围为{b丨ln3-1＜b＜ln2+$\frac{1}{2}$}．…（9分）
证明：（3）由（1）可得，当x≥0时ln（x+1）≤x²+x（当且仅当x=0时等号成立），
设x=$\frac{1}{n}$，则ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$，即ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$  ①…（10分）
∴$\frac{{2}^{2}}{{1}^{2}}$＞ln$\frac{2}{1}$，$\frac{3}{{2}^{2}}$＞ln$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{{3}^{2}}$＞ln$\frac{4}{3}$，…，$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln$\frac{n+1}{n}$，
将上面n个式子相加得：
$\frac{{2}^{2}}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1），
故：$\frac{2}{{1}^{2}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{4}{{3}^{2}}+…+\frac{n+1}{{n}^{2}}＞ln（n+1）$．…（12分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题．