Question

9．（文科）设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{2}$，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）无极值，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=$\frac{1}{2}$时，化简f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，从而求导确定函数的单调性；
（Ⅱ）化简f（x）=x（e^x-1-ax），令g（x）=e^x-1-ax，g′（x）=e^x-a，从而讨论以确定函数的单调性及最值，从而解得；
（Ⅲ）求出f（x）的导数，得到g（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，根据函数的单调性判断出g（x）=e^x+h（x）＞2，得到2a≤g（x），得2a≤2，a≤1；且g（x）=e^x+h（x）＜2，从而求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，
f′（x）=（e^x-1）+xe^x-x=（e^x-1）（x+1），
则当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上单调递增，在（-1，0）上单调递减；
（Ⅱ）f（x）=x（e^x-1-ax），令g（x）=e^x-1-ax，g′（x）=e^x-a，
若a≤1，则g（x）在[0，+∞）上是增函数，
而g（0）=0，从而f（x）≥0；
若a＞1，则g（x）在（0，lna）上是减函数，
且g（0）=0，故当x∈（0，lna）时，f（x）＜0；
综上可得，a的取值范围为（-∞，1]；
（Ⅲ）若f（x）无极值，则f（x）在R单调，
又f′（x）=（x+1）e^x-2ax-1，
若f（x）在R递减，则f′（x）≤0，对x∈R恒成立，
而当x₀=2|1-a|+1时，利用不等式e^x≥1+x，（x∈R），可得：
f′（x₀）=（x₀+1）${e}^{{x}_{0}}$-2ax₀-1≥${{（x}_{0}+1）}^{2}$-2ax₀-1
=（2|1-a|+1）[2|1-a|+1+2（1-a）]≥2|1-a|+1＞0，
与假设矛盾，
因此，f（x）在R递增，
则f′（x）=（x+1）e^x-2ax-1≥0对x∈R恒成立，
显然f′（0）=0对任意a∈R成立，
①当x＞0时，2a≤$\frac{（x+1{）e}^{x}-1}{x}$=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
令g（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
下面证明h（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，
∵h′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，令r（x）=（x-1）e^x+1，则r′（x）=xe^x，
x＞0时，r′（x）＞0，r（x）递增，r（x）＞r（0）=0，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增；
x＜0时，r′（x）＜0，r（x）递减，r（x）＞r（0）=0，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增；
当x＞0时，由e^x＞1+x得h（x）＞1，从而g（x）=e^x+h（x）＞2，
于是2a≤g（x），得2a≤2，a≤1；
②x＜0时，2a≥g（x），此时h（x）＜1，从而g（x）=e^x+h（x）＜2，
于是2a≥g（x），得2a≥2，a≥1，
综上，a=1时f（x）无极值．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．