Question

14．求函数f（x）=-x（x-2）²的极值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为R．
f（x）=-x（x²-4x+4）=-x³+4x²-4x，
∴f′（x）=-3x²+8x-4=-（x-2）（3x-2），
令f′（x）=0得x=$\frac{2}{3}$或x=2．
列表：

x	（-∞，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

从表中可以看出，
当x=$\frac{2}{3}$时，函数有极小值，
且f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{2}{3}$${（\frac{2}{3}-2）}^{2}$=-$\frac{32}{27}$．
当x=2时，函数有极大值，
且f（2）=-2（2-2）²=0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．