Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-k（$\frac{1}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$），若x=1是函的f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （-∞，e]
• B． （-∞，-$\frac{1}{e}$）
• C． （-∞，-$\frac{1}{e}$]∪{0}
• D． （-∞，-$\frac{1}{e}$]∪{0，e}

Answer 1

分析 由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-k（$\frac{1}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$），x≠0，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-k（-$\frac{1}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{（x-1）（{xe}^{x}-k）}{{x}^{3}}$，
∵x=1是函数f（x）的唯一一个极值点
∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．
∴xe^x-k=0在（-∞，0），（0，+∞）无变号零点，
令g（x）=xe^x-k，g′（x）=e^x（x+1），
令g′（x）＞0，解得：x＞-1，令g′（x）＜0，解得：x＜-1，
∴g（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，0），（0，+∞）递增，
g（x）的最小值为g（-1）=-$\frac{1}{e}$-k≥0，解得：k≤-$\frac{1}{e}$，
又k=0时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，
x=1是函的f（x）的唯一一个极值点，符合题意，
综上所述，k（-∞，-$\frac{1}{e}$]∪{0}．
故选：C．

点评 本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．