Question

2．已知函数f（x）=e^x-ax²+1的定义域为R，其导函数为f′（x）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若a=1，曲线y=f（x）在x=0处的切线为直线l，求直线l与函数g（x）=f′（x）+2x及直线x=0、x=1围成的封闭区域的面积．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由题意可得f'（x）=e^x-2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，运用参数分离和构造函数法，求得最小值，即可得到所求范围；
（2）求得a=1时，f（x）的导数，切线的斜率和方程，运用定积分法可得所围成图形的面积为${∫}_{0}^{1}$[（x+2）-g（x）]dx，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-ax²+1的导数为f′（x）=e^x-2ax，
由题意可得f'（x）=e^x-2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
即$2a≤\frac{e^x}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
设$h（x）=\frac{e^x}{x}$，则$h'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}$，
由$h'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}=0$得x=1，
当x∈（0，1）时h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，h（x）单调递增，
则h（x）最小值为h（1）=e，
从而$a≤\frac{e}{2}$，即实数a的取值范围是（-∞，$\frac{e}{2}$]；
（2）a=1时，f（x）=e^x-x²+1的导数f'（x）=e^x-2x，
f'（0）=1，f（0）=2，
因而切线l方程为y=x+2，g（x）=f'（x）+2x=e^x，
g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）=e＜3，
从而所求封闭图形面积为${∫}_{0}^{1}$[（x+2）-g（x）]dx
=${∫}_{0}^{1}$（x+2-e^x）dx=（$\frac{1}{2}$x²+2x-e^x）|${\;}_{0}^{1}$=（$\frac{1}{2}$+2-e）-（0-1）=$\frac{7}{2}$-e．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及封闭图形的面积的求法：定积分法，考查运算能力，属于中档题．