Question

3．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）•cos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（1）当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]时，讨论f（x）的单调性，并求函数f（x）的值域；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的表达式图象的对称轴方程．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式结合辅助角公式进行化简，结合函数单调性和值域之间的关系进行求解．
（2）根据三角函数的图象关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可．

解答 解：f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）•cos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=sinx•（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1-cos2x}{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，则2x∈[$-\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
则当2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，即x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$]时，函数f（x）单调递增，
当2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，即x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]时，函数f（x）单调递减，
∵2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{1}{2}$，
当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为$\frac{1}{2}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
即函数的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}$]．
（2）函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后，得到y=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
然后再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），得到y=$\frac{1}{2}$sin（4x-$\frac{π}{3}$）．
即g（x）=$\frac{1}{2}$sin（4x-$\frac{π}{3}$）．
由4x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，得x=$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{4}$，k∈Z，
即g（x）的对称轴为x=$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{4}$，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的公式以及辅助角公式化简求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．