Question

7．在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，满足S_n=ka_n+n²-n，（k∈R，n∈N^*）
（1）若k=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n-2n-1}为公比不为1的等比数列，且k＞1，求S_n．

Answer 1

分析 （1）当k=1时，S_n=a_n+n²-n，而a_n=S_n-S_n-1（n≥2），可求得S_n=n²+n，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据数列的递推公式（k-1）a_n=ka_n-1-2n+2，a₁=S₁=ka₁，分类求出k的值，再根据等比数列和等差数列的求和公式计算即可．

解答 解：（1）当k=1时，S_n=a_n+n²-n，
∴S_n-1=n²-n（n≥2），
∴S_n=（n+1）²-（n+1）=n²+n（n≥1）
∴当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n（n∈N^*）．
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=ka_n-ka_n-1+2n-2，
∴（k-1）a_n=ka_n-1-2n+2，a₁=S₁=ka₁，
若k=1，则a_n-2n-1=-1，
从而{a_n-2n-1}为公比为1的等比数列，不合题意；
若k≠1，则a₁=0，a₂=$\frac{2}{1-k}$，a₃=$\frac{4-6k}{（1-k）^{2}}$，a₁-3=-3，a₂-5=$\frac{5k-3}{1-k}$，a₃-7=$\frac{-7{k}^{2}+8k-3}{（k-1）^{2}}$，
由题意得，（a₂-5）²=（a₁-3）（a₃-7）≠0，
∴k=0或k=$\frac{3}{2}$，
当k=0时，S_n=n²-n，a_n=2n-2，a_n-2n-1=-3，不合题意；
当k=$\frac{3}{2}$时，a_n=3a_n-1-4n+4，从而a_n-2n-1=3[a_n-1-2（n-1）-1]，
∵a₁-2×1-1=-3≠0，a_n-2n-1≠0，{a_n-2n-1}为公比为3的等比数列，
∴a_n-2n-1=-3ⁿ，
∴a_n=2n-3ⁿ+1，
∴S_n=n²+2n-$\frac{{3}^{n+1}}{2}$+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查等差数列的概念，考查数列的求和，求得k的值是难点，也是关键，突出考查分类讨论思想与化归思想的应用，考查类比推理与运算能力，属于难题．