Question

3．已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），且在x=-2取得极值．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，根据f′（1）=-2，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知（m，m+1）⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端点的大小，求出m的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），
∴a+b=4    ①式 
f′（x）=3ax²+2bx，
则f′（-2）=0，即-6a+2b=0    ②式
由①②式解得a=1，b=3；
（2）f（x）=x³+3x²，f′（x）=3x²+6x，
令f'（x）=3x²+6x≥0得x≥0或x≤-2，
∵函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增
∴（m，m+1）⊆（-∞，-2]∪[0，+∞）
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3．

点评 注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；属于中档题．