Question

8．求下列函数的极值
（1）f（x）=x³-12x；
（2）f（x）=x²e^-x．

Answer 1

分析 （1）（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）函数定义域为R．
f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，得x=±2，
当x＞2或x＜-2时，f'（x）＞0，
∴函数在（-∞，-2）和（2，+∞）上是增函数；
当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴函数在（-2，2）上是减函数；
∴当x=-2时，函数有极大值f（-2）=16，
当x=2时，函数有极小值f（2）=-16．
（2）函数定义域为R，
f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=x（2-x）e^-x，
令f'（x）=0，得x=0或x=2．
当x＜0或x＞2时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上是减函数；
当0＜x＜2时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（0，2）上是增函数．
∴当x=0时，函数取得极小值f（0）=0，
当x=2时，函数取得极大值f（2）=4e^-2．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．