Question

3．一口袋中有5只球，标号分别为1，2，3，4，5．
（1）如果从袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球的最小号码，求ξ的分布列；
（2）如果从袋中取出1只，记录号码后放回袋中，再取1只，记录号码后放回袋中，这样重复三次，以η表示三次中取出的球的最小号码，求η的分布列．

Answer 1

分析 （I）由已知随机变量ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布列．
（II）由已知随机变量η的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的概率分布列．

解答 解：（I）由已知随机变量ξ的可能取值为1，2，3，
$P（ξ=1）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_5^3}=\frac{3}{10}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_2^2}{C_5^3}=\frac{1}{10}$，
∴ξ的概率分布列为：

ξ	1	2	3
P	0.6	0.3	0.1

（II）由已知随机变量η的可能取值为1，2，3，4，5，
$P（η=1）=\frac{{C_3^1×{4^2}+C_3^2×4+C_3^3}}{5^3}=\frac{61}{125}$，
$P（η=2）=\frac{{C_3^1×{3^2}+C_3^2×3+C_3^3}}{5^3}=\frac{37}{125}$，
$P（η=3）=\frac{{C_3^1×{2^2}+C_3^2×2+C_3^3}}{5^3}=\frac{19}{125}$，
$P（η=4）=\frac{{C_3^1×{1^2}+C_3^2×1+C_3^3}}{5^3}=\frac{7}{125}$，
$P（η=5）=\frac{1}{125}$，
∴η的概率分布列为：

η	1	2	3	4	5
P	$\frac{61}{125}$	$\frac{37}{125}$	$\frac{19}{125}$	$\frac{7}{125}$	$\frac{1}{125}$

点评 本题考查离散型随机变量的概率分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．