Question

12．已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1，其左、右焦点分别是F₁，F₂．已知点 M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）满足$\frac{{\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{M{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}}$=$\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，则S${\;}_{△{P}{M}{F_1}}}$-S${\;}_{△{P}{M}{F_2}}}$=2．

Answer 1

分析 利用$\frac{{\overrightarrow{{P}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{P}{F_1}}}|}}=\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，得出∠MF₁P=∠MF₁F₂，进而求出直线PF₁的方程为y=$\frac{5}{12}$（x+3），与双曲线联立可得P（3，$\frac{5}{2}$），由此即可求出${S_{△{P}{M}{F_1}}}-{S_{△{P}{M}{F_2}}}$．

解答 解：∵$\frac{{\overrightarrow{{P}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{P}{F_1}}}|}}=\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，
∴|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|cos∠MF₁P=|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|cos∠MF₁F₂，
∴∠MF₁P=∠MF₁F₂，
∵cos∠MF₁F₂=$\frac{5}{\sqrt{26}}$
∴cos∠PF₁F₂=2cos²∠MF₁F₂-1=$\frac{12}{13}$
∴tan∠PF₁F₂=$\frac{5}{12}$
∴直线PF₁的方程为y=$\frac{5}{12}$（x+3）
与双曲线联立可得P（3，$\frac{5}{2}$），
∴|PF₁|=$\frac{13}{2}$，
∵sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{26}}$
∴${S}_{△PM{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{13}{2}$×$\sqrt{26}$×$\frac{1}{\sqrt{26}}$=$\frac{13}{4}$，
∵${S}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1$=$\frac{5}{4}$，
∴${S_{△{P}{M}{F_1}}}-{S_{△{P}{M}{F_2}}}$=2，
故答案为：2

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强，难度较大．