Question

9．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=$\sqrt{6}$，
（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求DE与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BE，交点为G，推导出AG⊥GC，从而AG⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系，利用向量法能求出FE与平面ABC所成角的正弦值．

解答 （本小题满分12分）
（1）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，
由题意得AC⊥BE，且AG=CG=$\sqrt{3}$，
在多面体中，由AC=$\sqrt{6}$，知AG²+CG²=AC²，故AG⊥GC，…（2分）
又GC∩BE=G，GC、BE?平面BCDE，故AG⊥平面BCDE，…..（5分）
又AG?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面BCDE．…（6分）
（2）解：以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系．
由AG=CG=$\sqrt{3}$，BG=1，GE=3，则A（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（$\sqrt{3}$，2，0），E（0，3，0），F（0，2，$\sqrt{3}$）．
$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DE}=（-\sqrt{3}，1，0）$，…（8分）
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
∴$cos\left?{\overrightarrow{DE，}\overrightarrow{n_1}}\right＞=-\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
∴FE与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…．（12分）

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．