Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）-$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|+1，则f（x）的值域是（　　）

• A． [0，2]
• B． [1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2]
• C． [0，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [0，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 讨论sinx与cosx的大小，把函数化简可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sinx+1&，sinx＜cosx&\\ cosx+1&，sinx≥cosx\end{array}\right.$，结合函数的图象可求函数的值域．

解答 解：
函数f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）-$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|+1=$\left\{\begin{array}{l}sinx+1&，sinx＜cosx&\\ cosx+1&，sinx≥cosx\end{array}\right.$，
画图可得f（x）的值域是[0，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数的值域，求解的关键是要熟悉正弦函数及余弦函数的图象，结合函数的图象能对已知函数的表达式进行化简．属于基本知识的运用．