Question

14．①：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R；②：函数f（x）=x³+4ax-2在[1，+∞）上是增函数，已知“命题①或命题②”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据不等式恒成立的等价条件已经函数单调性的关系，求出命题为真命题的等价条件进行求解即可．

解答 解：若关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R，
则判别式△=（a-1）²-4a²＜0，
即3a²+2a-1＞0，得a＞$\frac{1}{3}$或a＜-1，
∵函数f（x）=x³+4ax-2在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=3x²-4a≥0，在[1，+∞）上恒成立，
则a≤$\frac{3}{4}$x²，
∵当x≥1时，$\frac{3}{4}$x²≥$\frac{3}{4}$，
∴a≤$\frac{3}{4}$，
若“命题①或命题②”为真命题，
则“命题①，命题②”至少有一个为真命题，
则等价为两个集合的并集，
则{a|a＞$\frac{1}{3}$或a＜-1}∪{a|a≤$\frac{3}{4}$}=（-∞，+∞），
即实数a的取值范围是（-∞，+∞）．

点评 本题主要考查命题真假关系的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．