Question

2．已知a=${∫}_{-1}^{1}$5x${\;}^{\frac{2}{3}}$dx，则二项式（$\sqrt{t}$-$\frac{a}{6t}$）^a展开式中的常数项是15．（填数值）

Answer 1

分析 求定积分得到a值，然后写出二项展开式的通项，由x得指数为0求得r值，则答案可求．

解答 解：∵a=${∫}_{-1}^{1}$5x${\;}^{\frac{2}{3}}$dx=$3{x}^{\frac{5}{3}}$${|}_{-1}^{1}$=6．
∴（$\sqrt{t}$-$\frac{a}{6t}$）^a =（$\sqrt{t}$-$\frac{1}{t}$）⁶ ，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}（\sqrt{t}）^{6-r}（-\frac{1}{t}）^{r}=（-1）^{r}{C}_{6}^{r}{t}^{\frac{6-3r}{2}}$，
取6-3r=0，得r=2．
∴二项式（$\sqrt{t}$-$\frac{a}{6t}$）^a展开式中的常数项是${C}_{6}^{2}=15$．
故答案为：15．

点评 本题考查定积分的求法，考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是中档题．