Question

11．（$\sqrt{26}$+5）²ⁿ⁺¹的小数表示中，小数点后至少连续有（　　）

• A． 2n+1个零
• B． 2n+2个零
• C． 2n+3个零
• D． 2n+4个零

Answer 1

分析 设这个数的整数部分是A，小数部分是B，利用${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$-${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$的展开式，得出整数部分A，小数部分B=${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$，利用B（A+B）=${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$•${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$=1，得出B＜$\frac{1}{{10}^{2n+1}}$，即得它的小数点后至少连续有2n+1个零．

解答 解：设这个数的整数部分是A，小数部分是B，
则${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$-${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$
=2${C}_{2n+1}^{1}$•26ⁿ•5+2${C}_{2n+1}^{3}$•26^n-1•5³+2${C}_{2n+1}^{5}$•26^n-2•5⁵+…+2${C}_{2n+1}^{2n+1}$•5²ⁿ⁺¹；
这个得数肯定是个整数所以就是A，
所以${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$的小数部分B=${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$；
（因为0＜$\sqrt{26}$-5＜1，所以0＜${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$＜1）
并且有B（A+B）=${（\sqrt{26}-5）}^{2n+1}$•${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$=1，
也就是这个数的小数部分和这个数的乘积为1，
所以A+B=${（\sqrt{26}+5）}^{2n+1}$＞（5+5）²ⁿ⁺¹=10²ⁿ⁺¹，
所以B=$\frac{1}{A+B}$＜$\frac{1}{{10}^{2n+1}}$；
即它的小数表示中，小数点后至少连续有2n+1个零．
故选：A．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了构造法与转化思想的应用问题，是较难的题目．