Question

16．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 a_n+1=a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，即a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁及得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}$+…+$\frac{1}{2}$+1
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．