Question

6．已知$\overrightarrow{m}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-1），在△ABC中，sinA+cosA=$\sqrt{2}$．
（1）当$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$时，求sin²x+sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$）•$\overrightarrow n$，求f（A）的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行与坐标的关系列方程解出tanx，利用三角函数恒等变换化简求出；
（2）利用三角函数恒等变换化简得出A，求出f（x）的解析式，代入即可求出f（A）．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，则-sinx-$\frac{3}{4}$cosx=0，即sinx=-$\frac{3}{4}$cosx．
∴tanx=-$\frac{3}{4}$．
∴sin²x+sin2x=$\frac{si{n}^{2}x+2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{ta{n}^{2}x+2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{\frac{9}{16}-\frac{3}{2}}{\frac{9}{16}+1}$=-$\frac{3}{5}$．
（2）$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$=（sinx+cosx，-$\frac{1}{4}$），
∴f（x）=2（sinxcosx+cos²x+$\frac{1}{4}$）=sin2x+cos2x+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$．
∵sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{4}$．
∴f（A）=$\sqrt{2}$sin$\frac{3π}{4}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，属于中档题．