Question

14．设点A₁、A₂分别为椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的下顶点和上顶点，若在椭圆上存在点P使得k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$≥-4，则椭圆C的离心率的取值范围是$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．

Answer 1

分析 设出P点坐标，根据k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$≥-4，求得-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤-$\frac{1}{4}$，并求得e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得e的取值范围．

解答 解：设P（x₀，y₀）代入椭圆方程得$\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-1=-\frac{{x}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$，即$\frac{{y}_{0}^{2}-{a}^{2}}{{x}_{0}^{2}}=-\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
又k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$=-$\frac{{y}_{0}+a}{{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}-a}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-{a}^{2}}{{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$≥-4，
∴-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤-$\frac{1}{4}$，即1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤$\frac{3}{4}$，
∴e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即0＜e≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查由两点坐标求斜率公式，正确设出P的坐标及离心率e的表达式是求解本题的关键，属于中档题．