Question

3．已知f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）．
（1）求出函数f（x）的定义域，并求不等式f（x）＞0的解集．
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．

Answer 1

分析 （1）利用真数大于0，可得函数f（x）的定义域，利用对数函数的单调性，结合函数的定义域求不等式f（x）＞0的解集．
（2）利用函数奇偶性的定义判断并证明．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}}\right.$解得函数的定义域为（-1，1），…（2分）
由f（x）＞0即ln（1-x）＞1n（1+x）
由$\left\{{\begin{array}{l}{1-x＞1+x}\\{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}}\right.$解得不等式的解集为（-1，0）…（6分）
（2）判断知f（x）为奇函数，…（7分）
证明：设任意x∈（-1，1），f（-x）=ln（1+x）-ln（1-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．…（12分）

点评 本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．