Question

20．已知点F₁（-1，0），F₂（1，0），动点P到点F₁，F₂的距离和等于4．
（Ⅰ）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；
（Ⅱ）若曲线C与直线m：y=x-1相交于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆的定义及其标准方程即可得出．
（Ⅱ）设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为：7x²-8x-8=0，利用弦长公式|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵点P到两定点F₁，F₂的距离之和为4大于两定点间的距离|F₁F₂|=2，
∴点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，其设其方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
则2a=4，2c=2
即$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$
∴点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$，得7x²-8x-8=0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}\\{x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}\end{array}\right.$，
∴弦长|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}]}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．