Question

设, 已知函数 
(Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明.

Answer 1

见解析

(Ⅰ)证明：设函数，，
①，因为，所以当时，，
所以函数在区间（-1，0）内单调递减；
②，因为，所以当时，
；当时，，即函数在区间（0，1）内单调递减，在区间内单调递增.
综合①②及，可知函数在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间
内单调递增.因为曲线在点处的切线相互平行，从而互不相等，且.不妨设，
由==，可得，
解得，从而，
设，则，
由=，解得，所以，
设，则，因为，所以，
故=，即.
本题第（Ⅰ）问，可以分两段来证明,都是通过导数的正负来判断单调性；第(Ⅱ)问，由切线平行知，切线的斜率相等，然后构造函数解决.判断分段函数的单调性时,要分段判断;证明不等式时,一般构造函数解决.
【考点定位】本小题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想、化归思想、函数思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.