Question

在数列{a_n}中，a₁＝，若函数f(x)＝x³＋1在点(1，f(1))处的切线过点(a_n＋1，a_n)．

(1)求证：数列{a_n－}为等比数列；

(2)求数列{a_n}的通项公式和前n项和公式S_n.

Answer 1

【解】　(1)证明　因为f′(x)＝3x²，所以切线的斜率为k＝3，切点是(1,2)，切线方程为y－2＝3(x－1)⇒3x－y－1＝0，又因为过点(a_n＋1，a_n)，所以3a_n＋1－a_n－1＝0，即3a_n＋1＝a_n＋1所以3a_n＋1－＝a_n－⇒

即数列{a_n－}为等比数列，其中公比q＝.

(2)由(1)得{a_n－}为公比为q＝，首项a₁－＝－＝的等比数列，则a_n－＝·()^n－1，

∴a_n＝·()ⁿ＋，

S_n＝(＋＋…＋)＋