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    求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

    思路解析：可以考虑综合法、比较法，也可以考虑构造函数法.

    证法一：（综合法）∵≥ab,≥bc,≥ca,

    ∴++≥ab+bc+ca,

    即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

    证法二：（差比法）由a2+b2+c2-ab-bc-ca

    =［(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ac)］

    =［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］≥0,

    得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

    证法三：（差比法）∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=a2-(b+c)a+b2+c2-bc

    =(a-)2+(b-c)2≥0,

    ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

    证法四：（构造二次函数法）∵a2+b2+c2-ab-bc-ca

    =a2-(b+c)a+b2+c2-bc，上式可看作关于a的二次函数，

    Δ=(b+c)2-4(b2+c2-bc)=-3(b-c)2≤0,

    ∴y=a2-(b+c)a+b2+c2-bc≥0.∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

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    已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，AB上的中线CD=m，求证：a2+b2=
    12
    c2+2m2．

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    例2．求证：
    		a2+b2
    +
    		b2+c2
    +
    		c2+a2
    ≥
    		2
    (a+b+c)    ．

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    （一）已知a，b，c∈R+，
    ①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
    ②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
    （二）已知a，b，x，y∈R+，
    ①求证：
    x2
    a
    +
    y2
    b
    ≥
    (x+y)2
    a+b
    ．
    ②利用①的结论求
    1
    2x
    +
    9
    1-2x
    (0＜x＜
    1
    2
    )    的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知实数a、b、c满足ab+bc+ca=1，求证：a2+b2+c2≥1．

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