Question

【题目】已知命题P：4x﹣a2x+1≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，命题Q：f（x）=log2（ax2﹣2x+ ）的值域是R，若满足P且Q为假，P或Q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：∵命题P：4x﹣a2x+1≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，
∴a≤2x+2﹣x ， 对x∈[﹣1，1]恒成立，
∴a≤2，
∵命题Q：f（x）=log2（ax2﹣2x+ ）的值域是R，
∴①a=0时，f（x）=log2（﹣2x+ ），符合题意；
②a≠0时，由题意，a＞0且△≥0，
综上，0≤a≤3，
∵P且Q为假，P或Q为真，∴P、Q一真一假，
①若P真，Q假，则a＜0；
②若P假，Q真，则2＜a≤3．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，3]
【解析】先解命题，再研究命题的关系．若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案．
【考点精析】利用复合命题的真假对题目进行判断即可得到答案，需要熟知“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．