Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，点P在C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设分别为椭圆C的左右焦点，过的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，求△的内切圆的半径的最大值.

Answer 1

【答案】（1） ；(2) 最大值为.

【解析】

(1) 根据离心率为，点在椭圆上，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 ，即可得结果；（2）可设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，结合韦达定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得，换元后利用导数可得的最大值为，再结可得结果.

（1）依题意有，解得，

故椭圆的方程为.

（2）设，设的内切圆半径为，

的周长为，

，

根据题意知，直线的斜率不为零，

可设直线的方程为，

由，得，

，

由韦达定理得，

，

令，则，，

令，则当时，单调递增，

，

即当时，的最大值为，此时，

故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为.