Question

已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=,（x，y∈R）

（1）求点P（x，y）的轨迹方程；

（2）将点P（x，y）的轨迹按向量a=（-2，8）平移到曲线C，M,N是曲线C上的两不同的点，如果⊥，求证直线MN恒过一定点，并求出定点坐标.

Answer 1

解:（1）∵=x=x（2，1）=（2x，x）,∴D（2x，x）.

∵=（1，7），=（5，1）,∴B（1，7），C（5，1）,

∴=（1-2x，7-x），=（5-2x，1-x）.

∴y==（1-2x）·（5-2x）+（7-x）（1-x）=5x²-20x+12.

∴y=5（x-2）²-8这就是所求的点P（x，y）的轨迹方程.

（2）将y=f（x）的图象按向量平移到曲线C，所得的曲线C的方程为：y=5x².

设M（x ₁，y₁），N（x₂，y₂）,则OM⊥ON·=0x₁x₂+y₁y₂=0.

设直线MN的方程为：y=kx+b（b＞0）代入y=5x²得,

5x²-kx-b=0，其 Δ=k²+20b＞0恒成立,

x₁+x₂=,x₁x₂=-,而=(kx₁+b)(kx₂+b)=k²x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²=-+b²=b²=-x₁x₂=,

由 b＞0,∴b=，故直线MN的方程为y=kx+.

所以直线MN恒过定点(0, ).