Question

【题目】已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（　　）

（1）MN⊥AB；

（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；

（3）平面CDM⊥平面ABN；

（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】逐一考查所给的四个说法：

(1)连结MC，MD，由三角形三线合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，

∵MN平面MCD,∴AB⊥MN,故(1)正确；

(2)取BD中点E，连结ME，NE，则∠NME或其补角为MN与AD所成角，

连结BN,由(1)知BM⊥MN,设正四面体棱长为1,则，

,∴cos∠NME=,∴∠NME=45°,故(2)不正确；

(3)由(1)知AB⊥平面CDM,∵AB平面ABN,∴平面CDM⊥平面ABN,故(3)正确；

(4)取BC中点F，连结MF，DF，假设存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，

∴AC⊥MN,∵MF∥AC，∴MF⊥MN，

∵DF=DM=,∴∠FMD<90°,很明显∠CMF<90°.

当N从D向C移动时,∠FMN先减小,后增大,故∠FMN<90°，与MF⊥MN矛盾.

∴不存在点N,使得过MN的平面与AC垂直,故(4)正确.

本题选择C选项.