Question

【题目】如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点。

(1)求直线AF与EC所成角的正弦值；

(2)求PE与平面PDB所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) 作FM∥CD交PC于M,得出AF∥EM，∠MEC为直线AF与EC所成角或其补角,在直角三角形中即可得解.

(2) 运用直线平面所成角的定义得出夹角，转化为直角三角形中求解即可．

(1)作FM∥CD交PC于M.

∵点F为PD中点,∴FM=CD.

∴AE=AB=FM，

∴AEMF为平行四边形,∴AF∥EM，

∠MEC为直线AF与EC所成角或其补角。

EM=AF=，MC=，EC=，∴ΔMEC为RtΔMEC

sin∠MEC=

(2)连接AC，BD交于O，连接EG

∵点E，O分别为AB和AC中点。

∴AO∥EG，

∵AC⊥平面PBD，

∴EG⊥平面PBD，

根据直线与平面所成角的定义可得：∠EPG为PE与平面PDB所成角，

Rt△EGP中,AO=，EG=，

DE=，PE=，

∴sin∠EPG=