Question

已知等差数列{a_n}的第二项为8，前10项之和为185，从{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，┅，第2ⁿ项，┅，按原来的顺序排成一个新的数列{b_n}．
（1）求数列{b_n}的前n项的和S_n；
（2）设T_n=n（9+a_n），试比较S_n和T_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

a1+d=8 10a1+ 10×9d 2 =185

，解方程可求d，a₁，进而可求通项a_n=n+2，代入可得bn=a2n=3•2ⁿ+2，利用分组求和及等比数列的求和公式可求S_n
（2）T_n=n（9+a_n）由=n（3n+11）当n=1时，S₁=8T₁=14，S₁＜T₁，n=2，S₂=22＜T₂=34，当n=3，S₃=48＜T₃=60，当n=4，S₄=98＞T₄=92，当n=5，S₅=196＞T₅=130，故猜想当1≤n≤3，S_n＜T_n；当n≥4，S_n＞T_n，用归纳法证明n≥4时，S_n＞T_n

解答：解：（1）由a₂=8，S₁₀=185可得

a1+d=8 10a1+ 10×9d 2 =185

∴d=3，a₁=5∴a_n=3n+2
∵bn=a2n=3•2ⁿ+2
∴S_n=3（2¹+2²+…+2ⁿ）+2+2+…+2=

6(1-2n)

1-2

+2n=3•2ⁿ⁺¹+2n-6
（2）∵T_n=n（9+a_n）=n（3n+11）
当n=1时，S₁=8T₁=14，S₁＜T₁
当n=2，S₂=22＜T₂=34
当n=3，S₃=48＜T₃=60
当n=4，S₄=98＞T₄=92
当n=5，S₅=196＞T₅=130
随着n的增大，S_n，T_n都增加，但是S_n比T_n增加的速度快
故猜想当1≤n≤3，S_n＜T_n
当n≥4，S_n＞T_n
下面用归纳法证明n≥4时，S_n＞T_n
①当n=4时由上述可知命题成立
②假设当n=k（k≥4）时S_k＞T_k，即6•2^k+2k-6＞3k²+11k
∴3.2^1+k＞k²+3k+2）×3
6•2^k+1＞6k²+18k+12=3（k+1）²+11（k+1）+（3k²+3k-6）＞3（k+1）²+11（k+1）
当n=k+1时，命题成立，当n≥4时，都有S_n＞T_n
综上可得，当n≥4时，S_n＞T_n，当1≤n≤3时，S_n＜T_n

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的求和公式的应用，及数学归纳法证明数学命题的应用，解题（2）的关键是要准确的归纳猜想．