Question

设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1，f（x）＞0．
（1）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并说明理由．
（2）一个各项为正数的数列{a_n}满足f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N*），其中s_n是数列{a_n}的前n项的和，求数列的通项a_n．

Answer 1

分析：（1）利用f（xy）=f（x）+f（y）?f（xy）-f（x）=f（y），再利用x＞1，f（x）＞0即可得结论．
（2）f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1?2s_n=a_n•a_n+1，再由数列的前n项的和和通项的关系求出通项．

解答：解：（1）y=f（x）在（0，+∞）上为增函数
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂则f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)
∵x＞1时f（x）＞0∴f（

x2

x1

）＞0?f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴y=f（x）在（0，+∞）上为增函数．（6分）
（2）由f（s_n）+1=f（a_n）+f（a_n+1）
∴f（s_n）+f（2）=f（a_n）+f（a_n+1）
∴2s_n=a_n•a_n+1，当n≥2时，
∴2s_n-1=a_n-1•a_n，两式相减得：2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0（n≥2）
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）∴a_n=n（8分）

点评：抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理证明一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉条件，更不可臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范．