Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），其中0＜ω＜2，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$，其中图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{6}$．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{2π}{3}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的对称中心．

Answer 1

分析 （1）先由向量数量积的坐标表示得出f（x），利用三角恒等变换公式对其进行化简，函数f（x）图象的一条对称轴的方程为x=$\frac{π}{6}$，由三角函数图象的性质知，当自变量为x=$\frac{π}{6}$时，函数取到最大值或最小值，由此关系建立方程求出ω的值．得出函数解析式，再由正弦函数的性质求函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的对称性可求对称中心．

解答 解：（1）由已知可得f（x）=cos²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1+cos2ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）．
∵直线x=$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴2ω×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得ω=3k+1．
又∵0＜ω＜2，
∴令k=0，得ω=1．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$．
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）…（8分）
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{2π}{3}$个单位，
可得函数y=sin[2（x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=-cos2x的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，
得到函数y=g（x）=-cos$\frac{1}{2}$x 的图象．
由$\frac{1}{2}$x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=2kπ+π，k∈Z，
可得函数y=g（x）的对称中心为：（2kπ+π，0），k∈Z…（12分）

点评 本题考查三角函数恒等变换的运用，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的对称性，三角函数的单调性的求法，解题的关键是熟记三角恒等变换公式，熟练掌握三角函数的性质，本题知识性较强，在近年的高考题中多有出现．题后要注意总结此类题的做题规律，属于基础题．