Question

13．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点是F，左、右顶点分别是A₁，A₂，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A₁B⊥A₂C，则双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得B和C点坐标，根据直线的斜率公式可得k₁×k₂=-1，即可求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：左、右顶点分别是A₁（-a，0），A₂（a，0），
当x=c时，代入双曲线方程，解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
设B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
则直线A₁B的斜率k₁=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}-0}{c-（-a）}$=$\frac{{b}^{2}}{a（c+a）}$，
直线A₂C的斜率k₂=$\frac{-\frac{{b}^{2}}{a}-0}{c-a}$=-$\frac{{b}^{2}}{a（c-a）}$，
由A₁B⊥A₂C，则k₁×k₂=-1，即$\frac{{b}^{2}}{a（c+a）}$×$\frac{{b}^{2}}{a（c-a）}$=1，
则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．