Question

4．设函数$f（x）=sinωx+sin（ωx-\frac{π}{2}）$．
（1）若$ω=\frac{1}{2}$，求f（x）的最大值及相应的x的取值范围；
（2）若$x=\frac{π}{8}$是f（x）的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，可得最大值，及相应的x的取值范围；
再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）当$x=\frac{π}{8}$时，f（x）=0，0＜ω＜10，可求ω的值和f（x）的最小正周期．

解答 解：函数$f（x）=sinωx+sin（ωx-\frac{π}{2}）$．
化简可得：f（x）=sinωx-cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx$-\frac{π}{4}$）
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（{ωx-\frac{π}{4}}）$，
（1）当$ω=\frac{1}{2}$时，$f（x）=\sqrt{2}sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}}）$，
∴当$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$时，函数f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，
∴相应x的取值集合为$\left\{{\left.x\right|x=\frac{3π}{2}+4kπ，k∈Z}\right\}$；
（2）∵$f（{\frac{π}{8}}）=\sqrt{2}sin（{\frac{π}{8}x-\frac{π}{4}}）=0$，
得：$\frac{π}{8}x-\frac{π}{4}=kπ$，k∈Z．
又0＜ω＜10．
∴k=0，ω=2，
则函数.$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题．