Question

设函数f（x）=ax³+bx（a，b为实数）．
（I）设a≠0，当a+b=0时．求过点P（-1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；
（Ⅱ）设b＞0，当a≤0且x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1），求b的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a≠0，a+b=0，∴b=-a，则f（x）=ax³-ax，
∴f'（x）=3ax²-a，设切点T（x₀，y₀），则f'（x₀）=k_PT，
即：切线方程为，又∵切线过点P（-1，0），
∴，解得：x₀=-1或．
当x₀=-1时，f'（x₀）=2a，切线方程为y=2ax+2a，
当时，，切线方程为．
（Ⅱ） ①当a=0，b＞0时，f（x）=bx在[0，1]上递增，∴b≤1．
②当a＜0，b＞0时，令f'（x）=3ax²+b=0，得，f（x）在[0，]上递增，
（ i ） 若时，f（x）在[0，1]上递增，
∵f（0）=0，
∴，即：，由线性规划知：．
（ ii ） 若时，f（x）在[0，]上递增，在[，1]上递减，
又f（0）=0，由题意得：，
由得，，
即：，得4b³≤-27a．
又a+b≥0，∴a≥-b，
∴4b³≤27b，得．
当时，，满足．
综上所述：b的最大值为．
分析：（I）设切点T（x₀，y₀），利用导数的几何意义可得f'（x₀）=k_PT，利用点斜式得到切线方程，把点P（-1，0）代入即可得到x₀，进而即可得到切线方程；
（II）通过对a，b分类讨论，利用导数研究其单调性得出值域即可．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、切线方程、分类讨论的思想方法是解题的关键．