Question

11．给出下列命题：①直线$x+\sqrt{3}y-1=0$的倾斜角是$\frac{2π}{3}$；②已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则有${x_1}{x_2}=\frac{p^2}{4}，{y_1}{y_2}=-{p^2}$；③已知F₁、F₂为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，点P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则△PF₁F₂的内心I始终在一条直线上．
其中所有正确命题的序号为②③．

Answer 1

分析 先求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角，可判断①；设出直线方程，联系抛物线方程，根据韦达定理，可判断②；求出I在直线x=a上，可判断③．

解答 解：：①直线$x+\sqrt{3}y-1=0$的斜率为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故倾斜角是$\frac{5π}{6}$，故错误；
②已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F的直线可设为：x=my+$\frac{p}{2}$，代入抛物线方程得：y²-2pmy-p²=0
菲A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则有${y}_{1}{y}_{2}=-{p}^{2}$，则${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{p}^{2}}{4}$，故正确；
③已知F₁、F₂为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，点P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，
设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，
则|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，
又点P在双曲线右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=2a，故|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，
设M点坐标为（x，0），
则由|F₁M|-|F₂M|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，故正确；
故答案为：②③．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线的斜率与倾斜角，直线与圆锥曲线的综合应用，难度中档．