Question

（2011•洛阳一模）已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（1）若f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）存在极值，试求a的取值范围，并证明所有极值之和小于-3+ln

1

2

；
（3）设a_n=1+

1

n

（n∈N^*），求证：3（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁²+a₂²+…+a_n²）＜ln（n+1）+2n．

Answer 1

分析：（1）f（x）在其定义域（（0，+∞）上为增函数，即f′（x）=

1

x

+2x-a，x＞0，分离参数a，转化为a≤

1

x

+2x，x＞0恒成立．
（2）由已知，f′（x）=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，即2x²-ax+1=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，
构造g（x）=2x²-ax+1，利用二次函数性质求解．
（3）令a=3，则f（x）=lnx+x²-3x，f（x）在（1，+∞）上为增函数，所以f（x）＞f（1）=-2，即lnx+x²-3x＞-2，3x-x²＜lnx+2，利用此规律进行证明．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

+2x-a，x＞0，
由已知，f′（x）＞0对x＞恒成立，
即a≤

1

x

+2x，x＞0，由于

1

x

+2x≥2

1 x ×2x

=2

2

，所以a≤2

2

（2）由已知，f′（x）=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，即2x²-ax+1=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，
记g（x）=2x²-ax+1，由于g（0）=0，所以

△=a2-8＞0 a 4 ＞0

，解得a＞2

2

．
设f（x）的两个极值点为x₁，x₂，则x₁+x₂=

a

2

，x₁x₂=

1

2

，∴f（x₁）+f（x₂）=（lnx₁+x₁²-ax₁）+（lnx₂+x₂²-ax₂）
=lnx₁x₂-a（x₁+x₂）+（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=ln

1

2

-

a2

2

+

a2

4

-1=-

a2

4

-1+ln

1

2

＜-3+ln

1

2

，所以所有极值之和小于-3+ln

1

2

；
（3）令a=3，则f（x）=lnx+x²-3x，x＞1，f′（x）=

2x3-3x+1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

＞0，
即f（x）在（1，+∞）上为增函数，所以f（x）＞f（1）=-2，
即lnx+x²-3x＞-2，3x-x²＜lnx+2，
∴3（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁²+a₂²+…+a_n²）＜ln（（a₁a₂…a_n）+2n=ln（n+1）+2n．

点评：本题考查了利用导数与单调性的关系，不等式的证明，训练了利用分离变量求参数的取值范围，考查了学生的转化构造、计算运算能力．