Question

8．在△ABC中，b=5，∠B=$\frac{π}{4}$，tanA=2，求边c．

Answer 1

分析 由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由b与sinB的值，利用正弦定理即可求出a的值，根据tanC=-tan（A+B）可求sinC，利用正弦定理即可得解．

解答 解：∵tanA=2，
∴cos²A=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}$=$\frac{1}{5}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，又b=5，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{5×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∵∠B=$\frac{π}{4}$，tanB=1，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{2+1}{1-2×1}$=3，
∴cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{5×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．