Question

3．已知a是实数，函数f（x）=$\sqrt{x}（x-a）$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．
（i）写出g（a）的表达式；
（ii）求a的取值范围，使得-6≤g（a）≤-2．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）（i）分类讨论，确定函数的单调性，即可求出f（x）在区间[0，2]上的最小值．
（ii）令-6≤g（a）≤-2，解不等式，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）函数的定义域为[0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{3x-a}{2\sqrt{x}}$，
a≤0时，f′（x）＞0，函数的单调增区间是[0，+∞）；
a＞0时，f′（x）＞0，可得x＞$\frac{a}{3}$，f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{a}{3}$，函数的单调增区间是（$\frac{a}{3}$，+∞），函数的单调减区间是[0，$\frac{a}{3}$）；
（2）（i）a≤0，函数在[0，2]上单调递增，∴g（a）=f（0）=0，
0＜a＜6时，f（x）在[0，$\frac{a}{3}$）上单调递减，在（$\frac{a}{3}$，2]上单调递增，
∴g（a）=f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}$，
a≥6时，f（x）在[0，2]上单调递减，∴g（a）=f（（2）=$\sqrt{2}$（2-a），
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，a≤0}\\{-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}，0＜a＜6}\\{\sqrt{2}（2-a），a≥6}\end{array}\right.$；
（ii）-6≤g（a）≤-2，则
a≤0，无解；
0＜a＜6，解得3≤a＜6；
a≥6，解得6≤a≤2+3$\sqrt{2}$，
综上所述，3≤a≤2+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查求函数f（x）的单调区间，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．