Question

12．在△ABC中，
（1）sin²$\frac{A}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为直角三角形．
（2）若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式化简已知可得$\frac{1-cosA}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$，结合余弦定理可得：1-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{c-b}{c}$，整理可得a²+b²=c²，即可判定得解．
（2）由条件利用正弦定理可得 sinA=1，可得A=$\frac{π}{2}$．再由sinC=sinB，利用正弦定理可得c=b，可得△ABC的形状为等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵sin²$\frac{A}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$，
∴$\frac{1-cosA}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$，
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，代入上式，可得1-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{c-b}{c}$
∴解得：2bc-b²-c²+a²=2bc-2b²，可得a²+b²=c²，
故三角形为以∠C为直角的直角三角形．
（2）在△ABC中，∵b=asinC，c=acosB，
故由正弦定理可得 sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，
∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1，∴A=$\frac{π}{2}$．
∴sinC=sinAsinB 即 sinC=sinB，
∴由正弦定理可得c=b，故△ABC的形状为等腰直角三角形，
故答案为：直角三角形，等腰直角三角形．

点评 本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，判断三角型的形状，属于中档题．