Question

2．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=-1．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（xy）=f（x）+f（y）对于任意的x，y都成立，利用赋值法：令x=y=1即可求解； 
（2）利用赋值法可得f（$\frac{1}{9}$）=2，然后结合f（xy）=f（x）+f（y），转化已知不等式f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（$\frac{1}{9}$），最后根据单调性从而求出所求．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；
（2）f（3×$\frac{1}{3}$）=f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=f（1）=0，
∴f（$\frac{1}{3}$）=-f（3）=1，
则f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{9}$），
即f（$\frac{1}{9}$）=1+1=2，则不等式f（x）+f（2-x）＜2，等价为f（x（2-x））＜f（$\frac{1}{9}$），
∵y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2-x＞0}\\{x（2-x）＞\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜2}\\{9{x}^{2}-18x+1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜2}\\{1-\frac{2\sqrt{2}}{3}＜x＜1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，
解之得：x∈（1-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴x的取值范围是（1-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．

点评 本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用，属于中档题．