Question

2．已知函数f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
（1）设a≥0，求f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Answer 1

分析 （1）求导，对a，b讨论，判断导函数的正负，确定原函数的单调区间．
（2）通过构造函数，利用函数单调性确定lna与-2b的大小．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
f′（x）=2ax+b-$\frac{1}{x}$
=$\frac{2a{x}^{2}+bx-1}{x}$
当a=0时
当b≤0时，在定义域内f′（x）＜0，函数递减
当b＞0时，在（0，$\frac{1}{b}$），f′（x）＜0，函数递减；在（$\frac{1}{b}$，+∞），f′（x）0，函数递增
当a＞0时
令f′（x）=0
∴x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$
在（0，$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$），f′（x）＜0，函数递减；在（$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$，+∞）f′（x）＞0，函数递增．
（2）由题知，函数在x=1处取得最小值，即x=1时函数的极值点
∴f′（x）=2ax+b-$\frac{1}{x}$
=$\frac{2a{x}^{2}+bx-1}{x}$
f′（1）=2a+b-1=0
∴b=1-2a
-2b=4a-2
∴lna-（-2b）
=lna-4a+2
构造函数g（x）=2-4x+lnx（x＞0）
g′（x）=$\frac{1-4x}{x}$
令g′（x）=0，x=$\frac{1}{4}$
当0＜x＜$\frac{1}{4}$时，g′（x）＞0，g（x）递增
当x＞$\frac{1}{4}$时，g′（x）＜0，g（x）递减
∴g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）=1-ln4＜0
∴g（a）=2-4a+lna=2b+lna＜0
故lna＜-2b

点评 此题考查对a，b的分类和构造函数，利用函数单调性比较大小．