Question

已知f（x）=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|．
（1）关于x的不等式f（x）≥a²-a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设m，n∈R⁺，且m+n=1，求证：

2m+1

+

2n+1

≤2

f(x)

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值的几何意义可知函数f(x)=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|表示数轴上点P（2x）到点A（

3

4

）和B（-

5

4

）两点的距离，从而可得f（x）_min=2，解相应的不等式即可；
（2）利用分析法结合基本不等式即可证得结论．

解答： 解：（1）依据绝对值的几何意义可知函数f(x)=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|表示数轴上点P（2x）到点A（

3

4

）和B（-

5

4

）两点的距离，
其最小值为f（x）_min=2…（3分）
∴不等式f（x）≥a²-a恒成立只需2≥a²-a，解得-1≤a≤2…（5分）
（2）∵f（x）_min=2，∴只需证明：

2m+1

+

2n+1

≤2

2

成立，
∵

2(2m+1)

≤

2+(2m+1)

2

=m+

3

2

；

2(2n+1)

≤

2+(2n+1)

2

=n+

3

2

．…（8分）
于是

2(2m+1)

+

2(2n+1)

≤m+

3

2

+n+

3

2

=m+n+3=4，
∴

2m+1

+

2n+1

≤2

2

成立，
故要证明的不等式成立．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义与基本不等式的应用，考查分析、运算与论证能力，属于中档题．