Question

在平面直角坐标系中，直线l的方程为y=-1，过点A（0，1）且与直线l相切的动圆的圆心为点M，记点M得轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+1与曲线E相交于B，C两点，过B点作直线l的垂线，垂足为D，O为坐标原点，判断D，O，C三点是否共线？并证明你的结论．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义，或利用|MF|=|y+1|，即可求曲线E的方程；
（Ⅱ）由直线y=kx+1与曲线E消去y，利用韦达定理，结合斜率公式，即可证明D，O，C三点共线．

解答： 解：（Ⅰ）解法1：由题意，点M到点A的距离等于它到直线l的距离，
故点M的轨迹是以点A为焦点，l为准线的抛物线．…（2分）
∴曲线E的方程为x²=4y．…（4分）
解法2：设点M的坐标为（x，y），依题意，得|MF|=|y+1|，
即

x2+(y-1)2

=|y+1|，…（2分）
化简得x²=4y．
∴曲线E的方程为x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）答：D，O，C三点共线．…（5分）
证明：设点B，C的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（6分）
依题意得，

x

2 1

=4y1，

x

2 2

=4y2．…（7分）
由直线y=kx+1与曲线E消去y得x²-4kx-4=0，…（9分）
解得x1，2=

4k±4 k2+1

2

=2k±2

k2+1

．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．…（11分）
∴直线OC的斜率kOC=

y2

x2

=

x 2 2 4

x2

=

x2

4

，…（12分）
直线OD的斜率kOD=

-1

x1

=

x2

4

，…（13分）
∴k_OC=k_OD，故D，O，C三点共线．…（14分）

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，难度中等．