Question

将函数f（x）=2sin（x-

π

6

）cos（x-

π

6

）+

3

cos2（x-

π

6

）在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n=

bn

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,三角函数中的恒等变换应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）f（x）=2sin2x，由正弦函数的性质，其极值点为x=

k

2

π+

π

4

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）bn=2n•an=

π

4

•(2n-1)•2n，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）f（x）=2sin（x-

π

6

）cos（x-

π

6

）+

3

cos2（x-

π

6

）
=sin(2x-

π

3

)+

3

cos(2x-

π

3

)
=2sin2x，
由正弦函数的性质，其极值点为x=

k

2

π+

π

4

，
它在（0，+∞）内的全部极值点构成以

π

4

为首项，

π

2

为公差的等差数列，
数列{a_n}的通项公式为an=

π

4

+（n-1）•

π

2

=

2n-1

4

π，（n∈N*）．
（2）∵a_n=

bn

2n

，∴bn=2n•an=

π

4

•(2n-1)•2n，
∴Tn=

π

4

[1•2+3•22+…+(2n-1)•2n]，①
2T_n=

π

4

[1•22+3•23+…+(2n-1)•2n+1]，②
①-②，得：-T_n=

π

4

[2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹]
=

π

4

[2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹]
=

π

4

[-6+（3-2n）•2ⁿ⁺¹]，
∴T_n=

π

2

[3-（3-2n）•2ⁿ]．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．